《天遇》：复杂性，混沌与稳定性的起源

2017-7-21 10:22| 发布者: 采编员| 查看: 503| 评论: 0|原作者: 曾星智|来自: 新浪博客

摘要: 《天遇》：复杂性，混沌与稳定性的起源笔记/曾星智，一个跨学科思想的专业投资者，公众号：ztouzi 　　如果人们不能用显式的公式表达微分方程的解，或者甚至不能给出一个合理的近似估计，他们仍然能够试着确定我们 ...

《天遇》：复杂性，混沌与稳定性的起源笔记/曾星智，一个跨学科思想的专业投资者，公众号：ztouzi 　　如果人们不能用显式的公式表达微分方程的解，或者甚至不能给出一个合理的近似估计，他们仍然能够试着确定我们已知其存在却未精确地描述的某类轨道是否稳定。——本书中的这一句话，最恰当地表达了“混沌”对我们的启示：虽然世界充满了不确定性，未来不可预测，但是并不代表世界和未来就完全是神秘的了，而是我们承认人类认识的有限，承认对不确定性的世界并不一定要强求精确的研究，我们也同样可以认识世界和应对未来。因为，在我们抛弃了“定量”之后，我们真正拥抱了“定性”；我们抛弃了“精确的错误”，但我们拥有了“模糊的正确”。　　“混沌”不是无序，也不是无规则，恰恰相反，它们都是有序和有规则的。“混沌”真正的意思是，对于这些有序有规则，我们无法进行精确的定量研究了，我们只能知道一个大致的定性上的正确。这让人类难以接受，因为我们一直认为科学和能力的无限，以为世界上的一切问题都可以找到答案，但“混沌”告诉我们，这个传统的思维是错误的。最近几十年，尤其是8、90年代以后，世界各门学科顶尖领域的突破，正是因为认识到了这一点，我们才实现了人类思想史上最重大的跨越。这就是“混沌”的意义。 1、庞加莱：从定量分析到定性地和几何地思考　　“三体问题的一块神秘的面纱终于被揭开了。庞加莱证明了除已知的那些以外，一致首次积分的不存在性，这意味着三体问题不能通过某种定量方法去解决。按照我们过去的讨论，它不能约化为低维的问题：甚至将要讨论的限制性三体问题，也需要两个自由度才能完全描述它。…… 　　“庞加莱觉得这些结果是充分的，因为现在他明白这个问题比任何人想像的都更加困难。数学家必须改变他们的思考方式来处理这种类型的动力学问题，试图写出显示表达式和积分的定量方法太不中用了。他已经站在了一个大门口，这扇门将把他引入一个神秘的世界。　　“……定量的分析方法只能解决某些问题，人们还应当定性地和几何地思考！”（P31-32）　　“……除此之外，他还很难接受混沌的思想。这样的概念与他所处时代的哲学是背道而驰的。　　“微分方程，包括描述物理现象的模型，都是描述确定性过程的。存在性和唯一性特征保证了一旦人们知道初值条件，方程的解就会被完全确定。至少就数学模型而言，我们能够由当前的情况预测未来的情况。人们唯一的问题就是寻找（或逼近）方程的解。从这点来看庞加莱的工作并没有改变什么，但是他在许多情形中说明了寻找方程的显式解的可能性实际上是零，并且，即使找到了方程的解，它们也会极度敏感地依赖于初值条件。他怎样才能向同时代的人解释定量方法经常会遇到难以逾越的障碍，而确定性（determinism）并不意味着精确的预测呢？谁会接受他的观点呢？他如何才能让科学界相信在充分长的一段时间以后，仅仅三个天体的引力运动就可能和天气一样变幻莫测呢？”（P48）　　“19世纪末人类的精神是积极进取和乐观的。人类社会已经具备了产生科学技术革命的条件。一些大型的国际展览会，比如埃菲尔铁塔的揭幕仪式，都使公众相信人类的聪明才智可以解决任何社会和经济问题。一个崭新的时代即将到来。庞加莱保守的思想不会影响即将产生的大量的科学发现。他的工作与时代的脉搏正好相反，大多数人似乎都不会接受他的新发现。或许庞加莱本人也不完全理解这一发现的深刻内涵以及所有的细节。他是一个经验丰富、声望极高的研究者，偶然地打开了这个潘多拉盒子。他发现了其中的秘密已经足够了，他的个人哲学不允许他继续探索下去。　　“事实上直到20世纪80年代，当处理图形的个人计算机和工作站得到广泛应用的时候，广大科研人员才接受混沌是一种普遍的现象。”（P48-49）　　“混沌与流行的乐观主义背道而驰，乐观派的雄心是控制自然界。在物理学中，相对论和量子力学的革命很快取代了研究者对于经典的牛顿力学的兴趣。在数学中，尽管庞加莱种下了同产生现代物理学一样重要的种子，但是希尔伯特的严格公理化的纲领及其发展与庞加莱的直觉观念相违背，开始长期支配整个数学领域。”（P58） 2、混沌普遍存在于真实世界的确定性模型中　　“我们已经旅行到一门新科学——混沌——的核心，正如许多通俗文章中经常阐述的那样。但它真的是一门新科学吗？本书讲述的历史故事让我们得出相反的结论。混沌是由庞加莱发现的，伯克霍夫揭示了它的一部分，而斯梅尔很好地理解了它。混沌诞生于19世纪80年代，很难说是一门新科学。最近20年的成就，即使是独立完成的工作，从某种意义上讲也都是那些奠基人的工作的附属品。对混沌的各种描述和表达，最近都会归结为符合动力学或者数学家新近得到的某种更精密的判据。任何超出这一范围的说法都可能是推测的、没有多少科学价值的。含义模糊的词汇‘不规则’和有精确含义的词汇‘不稳定’，并不意味着混沌。　　“事实上，我们甚至怀疑混沌能否严格地被称为一门科学。按照1992年版《韦伯斯特大学词典》，科学是‘处理经过系统地组织的事实或者真理的一个整体及显示其一般规律运作的某一分支的知识和研究’。虽然为研究混沌而发展起来的许多技术可能满足上述定义，但它们是已经充分确立的一门科学——数学——的一部分。更精确地讲，它们是动力系统的数学理论的一部分，而且并不是很大的一部分。这些技术不可能构成像生态学和计算机科学那样意义上的一门新科学。这一术语产生的原因很大程度上是由于文学上的夸张。　　“那么较谦虚地称为混沌理论又如何呢？唉，即使如此我们觉得这种说法仍有误导。一种理论通常是为描述特定范围内的现象提供规律和模型。相对论和量子理论作为现代物理学的基石，就是上述理论的实例。相反，混沌包含微分方程和其他动力系统分析中的一系列分散的方法。符合动力学、庞加莱映射和我们讲过的其他工具，皆不能直接用于描述外部世界；它们只能帮助我们理解和分析其他理论和模型。人们可以说混沌所以不能成为一种理论，是因为它的适用范围太广。　　“然而，认识到混沌的存在以及认识到它普遍存在于真实世界的确定性模型中，已经改变了我们的思想，从这一观点来看，它所做的远远超过了一种理论甚至一门新科学。混沌在我们的真实世界的确定性模型中是普遍存在的，这一广为接受的观点已经成为革命性的一步。由此已经产生一门新哲学，一种考察随时间甚至空间而演化的现象的新手法。混沌也为文学、艺术以及大众文化甚至是很少问津的批评理论等领域带来了新的生机。它触及几乎所有的人类活动，从人造卫星的发射到电视商业广告、流行书籍和电影，比如《侏罗纪公园》。无论我们是否喜欢，它已经成为我们生活中的一部分。　　“循环、规则性和周期性等旧范式并没有被取代——它获得了新的诠释。它现在可被看作是对宇宙更丰富、更复杂的形式的第一级近似。那些以永恒轮回为主题的古老神话，不会再以相同方式讲述了。我们至多能够保留回复（recurrence）的观点，但是不应希望严格的重复。这可能就是在秩序（order）和混沌（chaos）之间合理的折衷。”（P95-97） 3、对稳定性的寻找通向了另一道门　　“在人们发现这些特殊证据以前的几个世纪，诸如此类的问题使数学家引进了自然界研究中的一个基本概念——稳定性。原则上讲，稳定性是有关扰动现象（perturbation phenomena）的。如果一个动力系统中发生轻微的变化，这个系统还会保持它的运动状态吗？然而，存在若干个稳定性的定义，每一个定义根据不同的语境都有不同的含义。这些定义中很多是相互关联的：其中一些蕴含另一些，或被其他定义所蕴含。”（P159）　　“庞加莱关于混沌的发生产生于他试图证明刚好相反的方面：稳定性。如在数学与其他科学中经常发生的那样，新事物常常在人们寻找其他事物时出现。稳定性概念不仅由于其自身而显得重要，而且在科学的发展中起催化剂的作用。从这种意义上，人们可以说稳定性的观念激发并导致了混沌革命（revolution of chaos）。”（P161-162）　　“哈雷特的论文大约产生于一个数学时代的终结。定量方法（quantitative methods）在两个世纪中的统治地位正在削弱。布伦斯关于n体问题首次积分的工作预示着定量时代的结束。几年后，庞加莱的获奖论文标志着定性方法（qualitative approaches）时代的开端。定性研究始于微分方程，并最终导致动力系统几何理论（geometric theory of dynamical systems）的产生，但它很快就进入数学的其他领域。在科学的各个分支中旧的方法和观念似乎都已经发挥到了极限，对进步和发展已经失去其中心作用。新的观念生逢其时。　　“直到19世纪的最后10年，人们的目标仍然是获得精确的结果，寻找可以产生精确的数值预测的公式，对方程进行积分从而得到完整的解。数学家们，比如克罗内克，都相信上帝是用整数创造了世界，最终一切事物都能够简化为整数。在某种意义上，这是由希腊的毕达哥拉斯哲学学派提出的思想的扩展，毕达哥拉斯学派寻求利用正多面体，即五种完美的立体解释一切事实。事实上，一旦我们拥有了一种语言、一套工具，那么试图让整个世界迁就我们的方法就相对具有诱惑力。然而，大自然并不像我们确信的这些系统一样简单，动力学也不例外。能够‘完全’解决的问题实在是太少了。物理现象一般是非线性的，有时甚至是混沌的。现在我们认识到了除了微不足道的一类以外，大多数微分方程都不可能显式地求解。但是随着庞加莱的进一步发现，数学家们意识到即使他们自己不能找到精确解，他们仍旧能够研究解的许多性质。这就是定性方法的本质。　　“稳定性是一个典型的例子。如果人们不能用显式的公式表达微分方程的解，或者甚至不能给出一个合理的近似估计，他们仍然能够试着确定我们已知其存在却未精确地描述的某类轨道是否稳定。我们经常能够回答这样的问题，而且动力系统定性理论的目的就是寻找一些方法和结果以帮助解决类似的问题。”（P182-183） 4、将混沌与稳定性相联系　　“我们追溯了动力系统理论的两个基本概念——混沌与稳定性——的起源和一些衍生的结果。我们还领会了庞加莱如何在寻求稳定性时发现了混沌。第2章描述的斯梅尔的符号动力学分析，揭示出确定性混沌（deterministic chaos）与真正的随机过程（truly random process）在许多方面是无法区分的。混沌的本质特征是关于初值条件的敏感依赖性：混沌轨道实际上是不可长期预测的。相反，上面引进的李雅普诺夫稳定性通常蕴含着轨道行为是不变的或者是一种规则的可预测的重复。现在读者似乎会觉得，这两种性质即使不是完全对立的，也是相互排斥的。如果混沌只是偶然出现在寻找稳定性的过程中，那么为什么我们还要在本书的副标题中将它们联系在一起呢？确实，我们将要证明这两种性质在一类动力系统——天体力学中的近可积哈密顿系统——中以一种十分美妙的方式紧密交织在一起。”（P200-201）　　“只是这样一个数学问题——描述n体引力问题的微分方程的解——竟然令数学史上许多著名的人物冥思苦想，或许它还会继续吸引和困扰我们。我们已经懂得，求解动力学方程不只是一个问题，而是一系列问题。或许这些问题本身，远不及由它们引出的所有未曾预料的副产品对数学和整个科学产生的如此巨大的影响。好的数学（good mathematics）像所有好的科学（good science）一样，主要关注于建立表面上完全不同的各种资料和各个知识领域之间的联系，他们不止一次看到在天体力学的数学理论中这种情况是如何发生的。”（P248-249）　　“在急于继续阐述新的应用和洞见时，我们不要忘记自己的出发点。当我们为突然迸发的思想和非线性动力学的蓬勃发展而庆幸时，必须记住它的起源，因为在这里可以找到其发展的动力和局限性。在投入非线性研究或者在感兴趣的问题中寻找混沌之前，我们应该思考这样的事实：为了有效地应用具有纯粹的物理背景的思想和性质，比如稳定性乃至混沌本身，就需要它们有精确的数学定义。如果我们对于稳定性概念没有一致的认识，那么称飞机是稳定的就毫无价值；如果我们可以证明飞机的数学模型具有能够耐受突然扰动的解，那么这个说法就会更加令人信服。”（P250） --------------------------------------------------- 《天遇》：混沌与稳定性的起源 Celestial Encounters: The Origins of chaos and stability [罗]罗洛林.迪亚库Florin Diacu [美]菲利普.霍尔姆斯Philip Holmes 1999年初版上海科技教育出版社 2005年4月第1版

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